Как правило, модели транспортного потока в дорожных сетях зависят от времени и непрерывны, то есть они описывают движение в виде континуума, а не как отдельных водителей или автомобилей. Эти макроскопические модели описывают временную и пространственную эволюцию плотности движения без предсказания характера движения отдельных лиц. В дополнение к макроскопическим моделям, основанным на непрерывной плотности, для моделирования движения также используются микроскопические подходы, такие как модели частиц или клеточные автоматы.Большинство существующих непрерывных моделей рассматривают однонаправленный трафик; таким образом, плотность движения зависит только от одного пространственного измерения.
Основные уравнения в этом классе макроскопических моделей вдохновлены уравнениями газовой динамики.В последнее время много работ было сосредоточено на транспортных развязках, которые составляют строительный блок более крупной дорожной сети. Здесь модели обычно стремятся либо минимизировать время в пути отдельных водителей, либо максимизировать общий транспортный поток на данном перекрестке.
В статье, опубликованной в журнале SIAM Journal on Scientific Computing, авторы Симона Готтлих, Андреас Почка и Уте Циглер обращаются к проблеме вычисления оптимальных настроек светофора для городских перекрестков с применением законов сохранения транспортных потоков в сетях.«Математические уравнения, моделирующие движение транспортных средств, подобное потоку жидкости, могут улавливать нелинейные явления, такие как образование пробок», — объясняет автор Симона Готтлих. «Светофоры являются необходимым инструментом для перенаправления транспортного потока в дорожных сетях и, следовательно, предлагают потенциал для уменьшения заторов даже при больших объемах трафика на основе математических представлений».Обычно модели оптимизации трафика, основанные на передаче ячеек, текучих, смешанных целочисленных формулировках и эвристике, пытаются найти оптимальную длину цикла зеленой и красной фаз для светофоров.
«Математическая оптимизация программ светофора — чрезвычайно сложная задача, потому что она объединяет мир комбинаторной оптимизации с моделями непрерывного транспортного потока, основанными на гиперболических уравнениях в частных производных», — говорит автор Андреас Почка. «Наше исследование — первый шаг к практическим алгоритмам оптимизации для этого нового класса задач».Задачу математической оптимизации можно описать как нелинейную смешанно-целочисленную задачу оптимального управления, ограниченную скалярными гиперболическими законами сохранения. Для решения проблемы авторы используют подход частичной внешней выпуклости, который включает два этапа: решение (сглаженной) задачи нелинейного программирования с динамическими ограничениями и реконструкцию смешанно-целочисленной линейной программы без динамических ограничений.
Метод рассчитывает программы светофора для двух сценариев с разными дискретизациями.«После дискретизации всегда возникают проблемы крупномасштабной оптимизации из-за распределенной по времени и пространственной природы проблемы. Что еще хуже, проблемы нелинейны и имеют смешанные целочисленные решения», — объясняет Почка. «Большинство подходов до сих пор либо отказываются от нелинейности в пользу относительно грубой кусочно-линейной аппроксимации, либо применяют технически хорошо разработанный инструмент смешанно-целочисленного линейного программирования, но даже это не продвинет вас очень далеко, как мы проиллюстрировали в статье. "Преимущество частичной внешней выпуклости, которая впервые была использована в области оптимального управления с обыкновенными дифференциальными уравнениями, состоит в том, что задачу можно разделить на нелинейную задачу динамической оптимизации без целочисленных ограничений и линейную смешанно-целочисленную программу без динамики.
Авторы показывают, что кандидаты в двухэтапные решения вычисляются быстрее и дают лучшие результаты, чем результаты, полученные при глобальной оптимизации кусочно-линеаризованных моделей транспортных потоков."Начиная с работ Лайтхилла, Уизема и Ричардса в 1955-56 годах (1, 2). Гиперболические модели трафика изучались с разных точек зрения. Диапазон варьируется от расширений моделей, теоретических и численных исследований до вопросов оптимального управления в последнее время. лет ", — поясняет Готлих. «Текущие исследования все больше и больше связаны с взаимодействием между сетевыми проблемами, статистической оценкой данных и инженерными приложениями.
Понимание сходства и различий различных подходов часто вызывает проблемы».Есть несколько направлений для будущих исследований, объясняет Почка, например, понимание того, как частичная внешняя выпуклость может быть сформулирована в функциональном пространстве до того, как произойдет какая-либо дискретизация.
Хотя схемы с высоким разрешением необходимы для эффективного моделирования законов сохранения, эти подходы обычно вводят недифференцируемость дискретных ограничений, что является огромной проблемой для всех методов оптимизации и требует решения.