«Мы обнаружили, что Рамануджан на самом деле открыл поверхность K3 более чем за 30 лет до того, как другие начали изучать поверхности K3, и их даже назвали», — говорит Кен Оно, теоретик чисел из Emory. «Оказывается, работа Рамануджана предвосхитила глубокие структуры, которые стали фундаментальными объектами в арифметической геометрии, теории чисел и физике».Оно и его аспирантка Сара Требат-Ледер публикуют статью об этих новых открытиях в журнале Research in Number Theory. Их статья также демонстрирует, как одна из формул Рамануджана, связанная с номером такси, может раскрыть секреты эллиптических кривых.«Мы смогли связать рекорд по нахождению определенных эллиптических кривых с неожиданным количеством точек или решений, вообще не выполняя никаких сложных действий», — говорит Оно. «Формула Рамануджана, которую он написал на смертном одре в 1919 году, настолько гениальна.
Как будто он оставил волшебный ключ для математиков будущего. Все, что нам нужно было сделать, это признать силу ключа и использовать ее для поиска решений в современный контекст ".«Эта статья добавляет еще одну поистине красивую историю к списку впечатляющих недавних открытий, связанных с записными книжками Рамануджана», — говорит Манджул Бхаргава, теоретик чисел из Принстонского университета. «Эллиптические кривые и поверхности K3 образуют следующий важный рубеж в математике, и Рамануджан привел замечательные примеры, иллюстрирующие некоторые из их особенностей, о которых мы не знали раньше.
Он определил особую поверхность K3, которую мы можем использовать для понимания определенного особого семейства. эллиптических кривых. Эти новые примеры и идеи, несомненно, породят дальнейшую работу, которая продвинет математику вперед ".
Рамануджан, математик-самоучка, казалось, решал проблемы инстинктивно и сказал, что его формулы пришли к нему в виде видений индуистской богини. В разгар британского колониализма он покинул родную Индию, чтобы стать протеже математика Г. Харди из Кембриджского университета в Англии.К 1918 году британский климат и нормирование в военное время сказались на Рамануджане, который болел туберкулезом.
Он лежал больным в клинике недалеко от Лондона, когда Харди приехал в гости.Желая подбодрить Рамануджана, Харди сказал, что он приехал на такси № 1729, и назвал номер «довольно скучным». К удивлению Харди, Рамануджан сел в постели и ответил: «Нет, Харди, это очень интересное число!
Это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух кубиков двумя разными способами».Рамануджан, обладавший сверхъестественным чутьем на идиосинкразические свойства чисел, каким-то образом знал, что 1729 год можно представить как 1 в кубе + 12 в кубе и 9 в кубе + 10 в кубе, и никакое меньшее положительное число не может быть записано двумя такими способами.Этот инцидент ввел в мир математики «число Харди-Рамануджана» или «номер такси». На сегодняшний день обнаружено только шесть номеров такси, которые имеют свойства 1729. (Это наименьшие числа, которые представляют собой сумму кубов n различными способами.
Для n = 2 это число 1729.)Оригинальный номер такси-такси 1729 — излюбленный намек ботаников в телевизионных ситкомах Мэтта Грёнинга. Это число часто появляется как шутка в эпизодах «Футурамы» и «Симпсонов».Но, как и многие открытия Рамануджана, 1729 год, как оказалось, содержит скрытые значения, которые делают его гораздо большим, чем очаровательная математическая странность.
«Это лучший пример того, как Рамануджан предвосхищал теории», — говорит Оно. «Просматривая его записи, вы можете увидеть то, что кажется простой формулой. Но если вы присмотритесь, вы часто сможете обнаружить гораздо более глубокие последствия, которые раскрывают истинные силы Рамануджана».Большая часть карьеры Оно сосредоточена на разгадывании тайн Рамануджана. В 2013 году во время поездки в Англию, чтобы навестить теоретиков чисел Эндрю Гранвилла и Джона Коутса, Оно порылся в архиве Рамануджана в Кембридже.
Он наткнулся на страницу формул, которую Рамануджан написал через год после того, как впервые указал Харди на особые качества числа 1729. К тому времени 32-летний Рамануджан вернулся в Индию, но все еще болел и находился на грани смерти.
«Из нижней части одного из ящиков в архиве я вытащил одну из записей Рамануджана на смертном одре», — вспоминает Оно. «На странице упоминался 1729 год вместе с некоторыми примечаниями об этом. Эндрю и я поняли, что он нашел бесконечно близкие к промахам Последнюю теорему Ферма для экспоненты 3. Мы были шокированы этим и даже начали смеяться. Рамануджан открыл нечто гораздо большее ».
Последняя теорема Ферма — это идея о том, что у некоторых простых уравнений нет решений — сумма двух кубов никогда не может быть кубом. Рамануджан использовал эллиптическую кривую — кубическое уравнение и две переменные, наибольшая степень которых равна 3 — для получения бесконечного числа решений, которые были почти противоположными примерами Великой теореме Ферма.Эллиптические кривые изучались тысячи лет, но только в течение последних 50 лет им были найдены приложения за пределами математики. Они важны, например, для систем Интернет-криптографии, которые защищают такую информацию, как номера банковских счетов.
Оно уже работал с поверхностями K3 и раньше, и он также понял, что Рамануджан обнаружил поверхность K3 задолго до того, как они были официально идентифицированы и названы математиком Андре Вейлем в 1950-х годах. Вейль назвал их в честь трех мастеров алгебры — Куммера, Калера и Кодаира, а также гору К2 в Кашмире.Так же, как K2 — чрезвычайно сложная гора для восхождения, процесс обобщения эллиптических кривых для поиска поверхности K3 считается чрезвычайно сложной математической задачей.
Оно и Требат-Ледер соединили все части заметок Рамануджана, чтобы создать настоящий документ, освещающий его находки и переводящий их в современные рамки.«Рамануджан использовал 1729 и эллиптические кривые, чтобы разработать формулы для поверхности K3», — говорит Оно. «Сегодня математикам все еще трудно манипулировать и вычислять с помощью поверхностей K3.
Поэтому для Рамануджана очень удивительно, что эта интуиция всегда была у Рамануджана».Рамануджан хорошо известен в Индии и среди математиков во всем мире.
Вскоре он может стать более знакомым широкой аудитории благодаря предстоящему фильму «Человек, который знал бесконечность» Pressman Films. Оно служил консультантом по математике в фильме, в котором Дев Патель играет Рамануджана, а Джереми Айронс — Харди. (И Оно, и Бхаргава — ассоциированные продюсеры фильма.)«Жизнь и работа Рамануджана — это одновременно великая человеческая история и великая математическая история», — говорит Оно. «И я рад, что больше людей, наконец, получат удовольствие от этого».